考研数学大数定律和中心极限定理题型解析

　　随着2014年考研日期的日趋临近，莘莘学子们正忙碌而紧张地进行着各考试科目的最后总复习，在各门考试科目中，数学作为一门公共科目，常常令一些考生感到头疼、没有把握，这一方面是因为数学本身的逻辑性、连贯性很强、公式多、计算量大，要学好它有一定难度，另一方面是因为某些考生以前对数学的重视程度不够，基础知识学得不够扎实，所以面对即将到来的大考信心不足。为了帮助这些考生能顺利通过考试，老师针对历年考研数学的题型特点，进行深入解剖，分析提炼出各种题型及方法，供考生们参考。下面主要分析概率统计部分中的大数定律和中心极限定理的题型及解题方法。

　　题型：概率统计中的大数定律和中心极限定理的题型及解题方法

　　概率统计中的大数定律和中心极限定理的题型，在考研数学（一）和（三）的历年考试中出现的频率虽然不高，但仍在考试大纲范围之内，考试中仍有可能出现这种题型，因此，考生们对这种题型也应该有所了解，对基本题的解题方法应该掌握。

　　解答这种题型，首先要理解考试大纲中要求的3个大数定律和两个中心极限定理。下面我们简述一下这几个定理。

　　切比雪夫大数定律：设随机变量X1,X2,…相互独立，E(Xi)=μi，{D(Xi)，i=1,2,…}有界，则ε>0，

　　辛钦大数定律：设随机变量X1,X2,…相互独立且服从同一分布，E(Xi)=μ，i=1,2,…，则ε>0，

　　伯努利大数定律：设在n次独立重复试验中事件A发生的次数为fA,P(A)=p，则

　　独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1,X2,…相互独立且服从同一分布，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2>0，i=1,2,…，则的标准化随机变量依分布收敛于标准正态分布，即。

　　棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设随机变量～B(n,p)(n=1,2,…)，0<p<1，则的标准化随机变量依分布收敛于标准正态分布。

　　与大数定律相关的还有切比雪夫不等式：

　　例1.设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，依概率收敛于＿＿＿

　　（2003年考研数学三真题第一（6）题）

　　解析：因为X1,X2,…,Xn独立同分布，所以X12,X22,…,Xn2也独立同分布，由辛钦大数定律知依概率收敛于E(X2)=D(X)+E2(X)=，故正确答案是

　　例2.生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977 ? （Φ(2)=0.977，其中Φ(x)是标准正态分布函数）

　　（2001年考研数学三真题第十一题）

　　解：设Xi表示i箱的重量（千克），共n箱，由题设可知X1,X2,…,Xn独立同分布，且E(Xi)=50，D(Xi)=52=25，由中心极限定理得P= ，故最多可以装98箱。

　　例3.设随机变量 X,Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式P{|X+Y|≥6}≤＿＿

　　（2001年考研数学三真题第一(4)题）

　　解析：使用切比雪夫不等式时需要知道X+Y的期望和方差。令Z=X+Y，则E(Z)=E(X)+E(Y)=－2+2=0，Cov(X,Y)=，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=1+4-2=3，于是P{|X+Y|≥6}=P{|Z-E(Z)|≥6}

　　上面就是考研数学中概率统计部分的大数定律和中心极限定理的题型及解题方法，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，老师还会陆续向考生们介绍其它考研数学题型及解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位考生在2014考研中取得佳绩。